The Grothendieck Festschrift, Volume II: A Collection of by Pierre Cartier, Luc Illusie, Nicholas M. Katz, Gérard

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The various different articles awarded in those 3 volumes, accumulated at the party of Alexander Grothendieck’s 60th birthday and initially released in 1990, have been provided as a tribute to at least one of the world’s maximum residing mathematicians. Grothendieck replaced the very manner we expect approximately many branches of arithmetic. lots of his rules, innovative while brought, now look so ordinary as to were inevitable. certainly, it really is tough to completely grab the impact his sizeable contributions to trendy arithmetic have for this reason had on new generations of mathematicians. a few of the groundbreaking contributions in those volumes include fabric that's now thought of foundational to the topic. themes addressed via those top-notch participants fit the breadth of Grothendieck’s personal pursuits, together with: practical research, algebraic geometry, algebraic topology, quantity conception, illustration conception, K-theory, classification idea, and homological algebra. members to quantity II: P. Cartier; C. Contou-Carr?re; P. Deligne; T. Ekedahl; G. Faltings; J.-M. Fontaine; H. Hamm; Y. Ihara; L. Illusie; M. Kashiwara; V.A. Kolyvagin; R. Langlands; L? D.T.; D. Shelstad; and A. Voros.

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Intégration: Chapitres 7 et 8

Intégration, Chapitres 7 et 8Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce quantity du Livre d’Intégration, sixième Livre du traité, traite de l’intégration sur les groupes localement compacts et de ses purposes.

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72) ep{t) cosh t/2 2sinh^t/2 LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG 35 On en deduit le comportement asymptotique pour t tendant vers 0 sous la forme ep{t) - E m = - 2 ( - i r ^ m ^ ' " avec c/_2 = 2 , d_i=0 , do = ^,... Notons G{K) la derivee logarithmique du determinant de P-{-K. 74) i£)'G{K) G{K) ^ = 2Tri{P + K)-') 2 J dmLm-\-i{f^) pour «—>+00. 76) lira {G(K)-2(KlogK-K)} = 0. 77) H{K) = 2K^(^ + K)- 2/C. 80) ^ (;p)'ff (/c) = 2 5](2i + l)(j + K + i)-^. 82) lim { f f ( « ) - 2 ( « l o g « - K ) } = 0.

De plus, i^(A) est une fonction entiere de la variable complexe A; ses zeros sont les nombres —or, pour a parcourant 5, avec multiplicite egale a m(cr). 42) avec a > 0, 6 > 0. 43) i^y log D(A) = (-ir-Hr - 1)! J2 "^('^)(<^ + ^)" et la serie au second membre est absolument convergente. 44) log det(L -f A) avec br = t^ pour tout entier r > niQ. 41). 46) (^)MogD(A)- J2 ^irnLm^rW m > —mo pour tout entier r > 0. 7. Re venous a la situation du chapitre 2. Nous nous proposons de calculer det(—Ax + A) par les methodes de Vequation de la chaleur.

42) Q{h) = T / h{^iK)ipl + K^y'dK^ On transforme ensuite chacun des termes de la somme par la methode des residus, et Ton obtient Q(/i) = 27ri £ ; % „ ) . 43) n=0 t 4 V n* 1 k n 1/2 -*• -V1 '-it2 •-*: 3 L H. 2 t1 Figure 6 1/2 0 k —• LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG 47 La deuxieme etape consiste a decomposer I'integrale Q(h) en les integrales Q^{h) et Q~{h) associees respectivement aux portions C^ et C~ du contour C. Ces deux portions correspondent au signe de Re K: on a. Re /c > 0 sur Re K < 0 sur C~.

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