Intégration: Chapitres 7 et 8 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Intégration, Chapitres 7 et 8

Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce quantity du Livre d’Intégration, sixième Livre du traité, traite de l’intégration sur les groupes localement compacts et de ses functions. Les notions introduites, telles que les mesures de Haar et le produit de convolution, sont � los angeles base de l’analyse harmonique. Il comprend les chapitres :

  1. Mesure de Haar ;
  2. Convolution et représentations.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l’édition de 1963.

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Intégration: Chapitres 7 et 8

Intégration, Chapitres 7 et 8Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce quantity du Livre d’Intégration, sixième Livre du traité, traite de l’intégration sur les groupes localement compacts et de ses purposes.

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Il suffit alors d'appliquer le lemme suivant : Lemme 1. - Soient K une partie compacte de X, u une fonction de X+(X), avec u(x) > O pour x E K. Soit g E F ( X ) telle que Supp g c KH. a) On a inf ul(x) xeKH > 0. - b) La fonction h égale à glu1 dans KH, à O dans X KH, appartient à ZX(X). c) g = ( ~ h ) ~ . On a ul(x) > 0 pour x E K, donc inf ul(x) = inf ul(x) > 0. xeKH xaK L'assertion b) en résulte aussitôt. Enfin, d'après la prop. 1 c), on a ( ~ h = ) ~ulh, et il est clair que ulh = g. Soit 1 une forme linéaire relativement bornée (chap.

Pour que n E A, il est donc nCcessaire et suffisant que les mesures scalaires z ' o n soient nulles sur N pour tout z' E Et. On déduit alors de la prop. 3 que n E A si et seulement si l'on a -+ 3. Autre interprétation de Ag. Pour tout x E X , l'application k -+XE de H dans X est propre (Top. , chap. , § 4, no 2, prop. 4), donc /3 admet une mesure image dans X par cette application, image qui est concentrée sur l'orbite XH (chap. V, § 6, no 2, cor. 3 de la prop. 2) ; comme P est invariante à gauche, cette mesure image ne dépend que de la classe u = x(x) de x dans X/H, e t sera notée pu.

Localerniint i~ifégrable,essenliellement intégrable, intégrable) pour A, il faut et il s u f i l que 11. (kO x) le soit pour A 2 ; et, si k est essentiellement infr'grcxble pour A, on rr Soit f E X(X/H). Alors h . (f O x) E Y(X) e t l'on a d'où a). L'assertion b) se démontre de même. Les assertions (le c) concernant la mesurabilité, I'intégrabilité essentielle e t la formule (14) s'obtiennent alors en appliquant les résultats du chap. V ( $ 4 ,prop. 3, $ 5 , prop. 4, 4, th. 2). Si k est A-intégrable, h .

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