Banach Spaces of Continuous Functions by Zbigniew Semadini

By Zbigniew Semadini

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Intégration: Chapitres 7 et 8

Intégration, Chapitres 7 et 8Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce quantity du Livre d’Intégration, sixième Livre du traité, traite de l’intégration sur les groupes localement compacts et de ses purposes.

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Da wir A zerlegen k¨onnen: A∼ = Zm × (Z/d1 Z) × . . 33, zu zeigen, dass jede der Faktoren Zm und Z/di Z Charaktergruppen diagonalisierbarer Gruppen sind. Nun gilt aber X(Tm ) ∼ = Zm , und X(µd ) ∼ = Z/dZ, also sind wir fertig. 30: Sei KA die = A zu bilden. h. der Raum aller formalen Linearkombinationen βa a mit allen βa ∈ K, a∈A 5. DIAGONALISIERBARE GRUPPEN 31 in denen nur endlich viele der βa ungleich null sind. Addition und Skalarmultiplikation sind wie u ¨blich, und die Multiplikation ist folgende: ( a∈A βa a)( γa a) = a∈A (βa γb )(ab), a,b∈A wo das Produkt ab in A ausgerechnet wird.

Nummeriere n¨amlich die n Kopien von V in der direkten Summe: V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . ⊕ Vn , sei J eine maximale Teilmenge von {1, . . , n} mit der Eigenschaft, dass W∩ Vj = 0 j∈J 49 50 8. UNIPOTENTE GRUPPEN und sei W := j∈J Vj . Dann gilt offensichtlich: W ∩ W = 0 und ausserdem ist W deutlich ρ(E)-stabil. Wir m¨ ussen also nur zeigen, dass jedes Vi in W ⊕W enthalten ist. Wenn dies f¨ ur ein i nicht der Fall w¨are, so w¨are der Durchschnitt Vi ∩ (W ⊕ W ) nicht gleich Vi , und da dieser Durchschnitt ein E-stabiler Unterraum von Vi ∼ =V ist, ist er null wegen der Annahme.

1) Es ist einfach zu sehen, dass falls G abelsch ist, L(G) es auch ist. ) Zum Beispiel ist dann die Konjugation cg : G → G f¨ ur alle g gleich die Identit¨ at, und durch Ableiten folgt Ad(g) = idL(G) f¨ ur alle g ∈ G, also ist Ad konstant. Aber dann ist das Differential ad von Ad gleich 0, also [v, w] = ad(v)w = 0 f¨ ur alle v, w ∈ L(G). 44 7. DIE LIE-ALGEBRA EINER ALGEBRAISCHEN GRUPPE (2) Wenn H1 , H2 Untergruppen von G sind, so gilt immer L(H1 ∩ H2 ) = Te (H1 ∩ H2 ) ⊆ L(H1 ) ∩ L(H2 ), da dies f¨ ur beliebige abgeschlossene Untervariet¨aten gilt.

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