By Jonathan R. Partington
Hankel operators are of vast software in arithmetic (functional research, operator conception, approximation conception) and engineering (control conception, platforms research) and this account of them is either straight forward and rigorous. The publication is predicated on graduate lectures given to an viewers of mathematicians and regulate engineers, yet to make it kind of self-contained, the writer has incorporated numerous appendices on mathematical issues not likely to be met through undergraduate engineers. the most necessities are uncomplicated complicated research and a few practical research, however the presentation is stored common, heading off pointless technicalities in order that the elemental effects and their functions are obtrusive. a few forty five routines are incorporated.
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72) ep{t) cosh t/2 2sinh^t/2 LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG 35 On en deduit le comportement asymptotique pour t tendant vers 0 sous la forme ep{t) - E m = - 2 ( - i r ^ m ^ ' " avec c/_2 = 2 , d_i=0 , do = ^,... Notons G{K) la derivee logarithmique du determinant de P-{-K. 74) i£)'G{K) G{K) ^ = 2Tri{P + K)-') 2 J dmLm-\-i{f^) pour «—>+00. 76) lira {G(K)-2(KlogK-K)} = 0. 77) H{K) = 2K^(^ + K)- 2/C. 80) ^ (;p)'ff (/c) = 2 5](2i + l)(j + K + i)-^. 82) lim { f f ( « ) - 2 ( « l o g « - K ) } = 0.
De plus, i^(A) est une fonction entiere de la variable complexe A; ses zeros sont les nombres —or, pour a parcourant 5, avec multiplicite egale a m(cr). 42) avec a > 0, 6 > 0. 43) i^y log D(A) = (-ir-Hr - 1)! J2 "^('^)(<^ + ^)" et la serie au second membre est absolument convergente. 44) log det(L -f A) avec br = t^ pour tout entier r > niQ. 41). 46) (^)MogD(A)- J2 ^irnLm^rW m > —mo pour tout entier r > 0. 7. Re venous a la situation du chapitre 2. Nous nous proposons de calculer det(—Ax + A) par les methodes de Vequation de la chaleur.
42) Q{h) = T / h{^iK)ipl + K^y'dK^ On transforme ensuite chacun des termes de la somme par la methode des residus, et Ton obtient Q(/i) = 27ri £ ; % „ ) . 43) n=0 t 4 V n* 1 k n 1/2 -*• -V1 '-it2 •-*: 3 L H. 2 t1 Figure 6 1/2 0 k —• LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG 47 La deuxieme etape consiste a decomposer I'integrale Q(h) en les integrales Q^{h) et Q~{h) associees respectivement aux portions C^ et C~ du contour C. Ces deux portions correspondent au signe de Re K: on a. Re /c > 0 sur Re K < 0 sur C~.
