Algèbre: Chapitre 8 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

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Intégration: Chapitres 7 et 8

Intégration, Chapitres 7 et 8Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce quantity du Livre d’Intégration, sixième Livre du traité, traite de l’intégration sur les groupes localement compacts et de ses functions.

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D) Déduire de b) que l’ensemble des A-modules quotients du A-module As isomorphes à un module donné a un cardinal inférieur à Card(A). 6) Soit M un A-module, tel que pour tout x = 0 dans M le module Ax soit simple. Démontrer que, ou bien M est simple, ou bien l’anneau des homothéties AM est un corps (si M n’est pas simple, considérer deux éléments non nuls x, y de M tels que y ∈ / Ax, et l’annulateur de x + y). 7) Soit S un A-module simple, dont le dual S∗ et le bidual S∗∗ sont simples. Prouver que l’application u → t u est un isomorphisme de EndA (S) sur le corps opposé de EndA (S∗ ).

Soit N un sous-module facteur direct de M. a) Il existe une partie J de I telle que MJ soit un sous-module supplémentaire de N. b) Soit J une partie de I. Si MJ est un supplémentaire de N, alors le module N est isomorphe à MI J et est semi-primordial. Notons K l’ensemble des indices i ∈ I tels que N ∩ Mi = 0 et raisonnons par récurrence sur le cardinal de K. Le corollaire est clair si M = N . Supposons M = N. Soit p un projecteur de M de noyau N. Notons P son image. Elle n’est pas nulle, et d’après le lemme 3, il existe j ∈ I tel que p induise un isomorphisme de Mj sur un sous-module facteur direct de P.

Il résulte aussitôt du lemme 4 de VIII, p. 31 que M est isomorphe à un sous-module facteur direct de M si et seulement si l’on a [M : L] [M : L] pour tout A-module primordial L. En (1) On peut démontrer que tout module projectif sur un anneau local est libre (VIII, p. 39, exerc. 18). 34 Z STRUCTURE DES MODULES DE LONGUEUR FINIE §2 particulier, si L est un A-module primordial, [M : L] est le plus grand des cardinaux a pour lesquels il existe un sous-module facteur direct de M isomorphe à L(a) . La relation [M : L] = 0 signifie donc qu’il n’existe aucun sous-module facteur direct de M isomorphe à L.

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